题目内容

已知椭圆C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a≥2b＞0)．
（1）求椭圆C的离心率的取值范围；
（2）若椭圆C与椭圆2x2+5y2=50有相同的焦点，且过点M（4，1），求椭圆C的标准方程．
分析：（1）利用离心率公式，结合a≥2b及0＜e＜1，可确定椭圆C的离心率的取值范围；
（2）由2x2+5y2=50确定其焦点，结合点M（4，1）在椭圆C上，即可求椭圆C的方程、
解答：解：（1）离心率e=
c2
a2
=
a2-b2
a2
=
1-
b2
a2
…（1分）
∵a≥2b，∴
b
a
≤
1
2
，
∴e=
1-
b2
a2
≥
1-
1
4
=
3
2
，…（3分）
又0＜e＜1，
∴e∈[
3
2
，1)…（4分）
（2）由2x2+5y2=50得
x2
25
+
y2
10
=1，其焦点为(±
15
，0)…（5分）
点M（4，1）在椭圆C上，
∴
16
a2
+
1
b2
=1①…（6分）
又a2-b2=15，即a2=b2+15②…（7分）
代入①得b4-2b2-15=0，解得b2=5或b2=-3（舍去）  …（9分）
∴a2=20，
故所求椭圆C的方程为
x2
20
+
y2
5
=1．…（10分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，熟练掌握椭圆几何量之间的关系是关键．
练习册系列答案
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已知椭圆C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，椭圆C的左、右焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），斜率为k（k≠0）的直线l经过点F2，交椭圆于A、B两点，且△ABF1的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点E为x轴上一点，
AF2
=λ
F2B
（λ∈R），若
F1F2
⊥(
EA
+λ
BE
)，求点E的坐标．
（2013•崇明县二模）已知椭圆C的方程为
x2
a2
+
y2
2
= 1（a＞0），其焦点在x轴上，点Q(
2
2
，
7
2
)为椭圆上一点．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点P（x0，y0）满足
OP
=
OM
+2
ON
，其中M、N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为-
1
2
，求证：
x
2
0
+2
y
2
0
为定值；
（3）在（2）的条件下探究：是否存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．
（2007•河北区一模）已知椭圆C的方程为 
x2
a2
+
y2
b2
=1 （a＞b＞0），过其左焦点F1（-1，0）斜率为1的直线交椭圆于P、Q两点．
（Ⅰ）若
OP
+
OQ
与
a
=（-3，1）共线，求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线l：x+y-
1
2
=0，在l上求一点M，使以椭圆的焦点为焦点且过M点的双曲线E的实轴最长，求点M的坐标和此双曲线E的方程．
已知椭圆C的方程为
x 2
4
+
y2
3
=1，过C的右焦点F的直线与C相交于A、B两点，向量
m
=(-1，-4)，若向量
OA
-
OB
与
m
-
OF
共线，则直线AB的方程是（　　）
已知椭圆C的方程为
x 2
4
+
y2
3
=1，过C的右焦点F的直线与C相交于A、B两点，向量
m
=(-1，-4)，若向量
OA
-
OB
与
m
-
OF
共线，则直线AB的方程是（　　）
A．2x-y-2=0B．2x+y-2=0C．2x-y+2=0D．2x+y+2=0

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