Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E，F，G，H分别是AB，AC，A₁B₁，A₁C₁的中点，求证：
（1）B，C，H，G四点共面；
（2）平面EFA₁∥平面BCHG．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角形中位线的性质，证明GH∥B₁C₁，从而可得GH∥BC，即可证明B，C，H，G四点共面；
（2）证明平面EFA₁中有两条直线A₁E、EF分别与平面BCHG中的两条直线BG、BC平行，即可得到平面EFA₁∥平面BCHG．
解答：证明：（1）∵G、H分别为A₁B₁，A₁C₁中点，∴GH∥B₁C₁，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC∥B₁C₁，
∴GH∥BC
∴B、C、H、G四点共面；
（2）∵E、F分别为AB、AC中点，
∴EF∥BC
∴EF∥BC∥B₁C₁∥GH
又∵E、G分别为三棱柱侧面平行四边形AA₁B₁B对边AB、A₁B₁中点，
∴四边形A1EBG为平行四边形，A₁E∥BG
∴平面EFA₁中有两条直线A₁E、EF分别与平面BCHG中的两条直线BG、BC平行
∴平面EFA₁∥平面BCHG．
点评：本题考查平面的基本性质，考查面面平行，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．