Question

已知集合A={x|ax²-3x-4=0}．
（1）若a=10，求集合A；
（2）若A≠∅，求实数a的取值范围；
（3）若B={-1，4}，且A⊆B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）若a=10，则集合A={x|10x²-3x-4=0}．利用二次方程的解集即可得出集合A；
（2）若A≠∅，则说明方程ax²-3x-4=0有实数根．分二次项系数为0和不为0讨论．当a不为0，由A中至少有一个元素，知关于x的方程ax²-3x-4=0有实数根，由此能求出实数a的取值范围．
（3）当a=0时，方程为-3x-4=0，所以集合A={-

4

3

}，不符合题意；当a≠0时，再就根的判别式的情况分△＜0，△=0，△＞0，讨论，由此能求出实数a的取值范围．

解答：解：（1）当a=10时，A={x|10x²-3x-4=0}
由 10x²-3x-4=0解得：x=

4

5

或 x=-

1

2

A={

4

5

，-

1

2

}…（3分）
（2）当a=0时，A={-

4

3

}≠∅即a=0符合题意；      …（4分）
当a≠0时，有△=9+16a≥0，解得a≥-

9

16

且 a≠0…（6分）
综合得：a≥-

9

16

…（8分）
（3）由A⊆B={-1，4}知：
当a=0时，A={-

4

3

}?B，不合题意舍去；   …（9分）
当a≠0时，若△=9+16a＜0，即a＜-

9

16

时A=∅符合题意；…（11分）
若△=9+16a=0，A={-

8

3

}?B，不合题意，舍去；    …（13分）
若△=9+16a＞0，知-1，4为方程ax²-3x-4=0的两个根，
所以 -1+4=

3

a

，即有 a=1…（15分）
综合以上得：a＜-

9

16

或 a=1…（16分）

点评：本题考查集合的包含关系判断及应用．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，注意分类讨论思想的合理运用．