Question

已知集合A={x|x²+3x-4＜0}，B={x|

x+2

x-4

＜0}．
（1）在区间（-4，5）上任取一个实数x，求“x∈A∩B”的概率；
（2）设（a，b）为有序实数对，其中a，b分别是集合A，B中任取的一个整数，求“a-b∈A∪B”的概率．

Answer 1

分析：（1）这是一个几何概型，根据一元二次不等式和分式不等式解集的结论，分别将集合A、B化简，得到事件“x∈A∩B”对应长度为3的线段，所有的事件对应长度为6的线段．最后用几何概型的公式，可得事件“x∈A∩B”的概率；
（2）根据集合A、B中元素，用列举的方法，可得a-b共有20个结果，即20个基本事件． 对照A∪B=（-4，4），得到事件“a-b∈A∪B”中包含14个基本事件，最后用古典概型的公式，可得事件“a-b∈A∪B”的概率．

解答：解：（1）∵A={x|x²+3x-4＜0}，B={x|

x+2

x-4

＜0}．
解之，得A={x|-4＜x＜1}，B={x|-2＜x＜4}，…（2分）
∴A∩B={x|-2＜x＜1}，
事件“x∈A∩B”对应长度为3的线段，设它的概率为P₁，
所有的事件：x∈（-4，5），对应长度为9的线段．
∴事件“x∈A∩B”的概率为：P₁=

3

9

=

1

3

．…（5分）
（2）因为a，b∈Z，且a∈A，b∈B，
所以，a∈{-3，-2，-1，0}，b∈{-1，0，1，2，3}，
基本事件共有4×5=20个结果，即20个基本事件． …（9分）
又因为A∪B=（-4，4），
设事件E为“a-b∈A∪B”，则事件E中包含14个基本事件，…（11分）
事件E的概率P（E）=

14

20

=

7

10

．…（12分）

点评：本题主要考查了不等式的解法，以及几何概型的概率计算，思路是先求得试验的全部构成的长度和构成事件的区域长度，再求比值，属于中档题．