Question

已知a、b、c∈R⁺，且a＋b＋c＝1．

求证：(1)a²＋b²＋c²≥；

(2) ≤．

Answer 1

答案：
解析：

证法一：(1)∵a2＋， 　　∴． 　　∴a2＋b2＋c2≥． 　　(2)∵， 　　∴． 　　∴． 　　证法二：(1)∵a＋b＋c＝1，∴(a＋b＋c)2＝1． 　　∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝1． 　　∵a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc， 　　∴3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝1． 　　∴a2＋b2＋c2≥． 　　(2)∵a、b、c∈R+，∴a＋b≥，b＋c≥， 　　c＋a≥．∴2(a＋b＋c)≥2()． 　　∴a＋b＋c＋＋＋≤3(a＋b＋c)＝3． 　　∴(＋)2≤3． 　　∴＋≤． 　　思路分析：已知条件为一次式等式，所证的为二次不等式和根式不等式，需将次数统一，出现a＋b＋c换为1来 提示：