Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC上，且不与点C重合， (1)当CF=1时，求证：EF⊥A₁C；
(2)设二面角C-AF-E的大小为θ，求tanθ的最小值．

Answer 1

解：过E作EN⊥AC于N，连结EF， (1)如图1，连结NF、AC1， 由直棱柱的性质知，底面ABC⊥侧面A1C， 又底面ABC∩侧面A1C=AC，EN底面ABC， 所以EN⊥侧面A1C，NF为EF在侧面A1C内的射影， 在Rt△CNE中，CN=CEcos60°=1， 则由，得NF∥AC1， 又AC1⊥A1C， 故NF⊥A1C， 由三垂线定理知EF⊥A1C。
(2)如图2，连结AF，过N作NM⊥AF于M，连结ME， 由(1)知EN⊥侧面A1C， 根据三垂线定理得EM⊥AF， 所以∠EMN是二面角C-AF-E的平面角，即∠EMN=θ， 设∠FAC=α，则0°＜α≤45°， 在Rt△CNE中，NE=EC·sin60°=， 在Rt△AMN中，MN=AN·sinα-3sinα， 故， 又0°＜α≤45°， ∴， 故当， 即当α=45°时，tanθ达到最小值， ，此时F与C1重合．