题目内容
如图所示，设抛物线
的焦点为
，且其准线与
轴交于
，以，为焦点，离心率
的椭圆
与抛物线
在轴上方的一个交点为P.
（1）当
时，求椭圆的方程；
（2）是否存在实数
，使得
的三条边的边长是连续的自然数？若存在，求出这样的实数；若不存在，请说明理由.
【答案】
（1）
；（2）
.
【解析】
试题分析：（1）依题意由抛物线方程容易得椭圆的方程，代入
既得椭圆方程；（2）假设存在满足条件的实数
，由抛物线和椭圆方程求交点P，使得
，求得.
试题解析：（1）抛物线
的焦点为
,
1分
椭圆
的半焦距
，离心率
，所以椭圆的长半轴长
，短半轴长
，3分
所以椭圆的方程为
,
4分
当时，椭圆的方程.
6分
（2）假设存在满足条件的实数由
，解得
, 8分
，
，
,
11分
所以
的三条边的边长分别是
，
，
所以当时使得的三条边的边长是连续的自然数.
13分
考点：1、抛物线和椭圆的方程及性质;2.存在性问题.
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如图所示，设抛物线C1：y2=4mx（m＞0）的焦点为F2，且其准线与x轴交于F1，以F1，F2为焦点，离心率e=
到点
和
的距离分别为
和
， 
，且存在常数
，使得
．（如图所示）那么点
的椭圆C2与抛物线C1在x轴上方的一个交点为P．