Question

【题目】已知椭圆：和圆：，，为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，当直线与圆相切时，.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）直线：与轴交于点，且与椭圆和圆都相切，切点分别为，，记和的积分别为和，求的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

(I) 由题意可得，设，运用直线和圆相切的条件，可得，结合a，b, c的关系，解得a, c,进而得到椭圆方程；

（Ⅱ）设，，将代入，结合直线和椭圆相切的条件判别式为0，解得M的坐标，可得的面积，再由直线和圆相切的条件，解方程可得N的坐标，求得Q的坐标，计算的面积为,求得的表达式，化简后运用基本不等式即可得证.

（Ⅰ）由题可知. ①

设，则由与圆相切时得，即. ②

将①②代入解得.

所以的方程为.

（Ⅱ）设，，

将代入得，

由直线与椭圆相切得即，且

，

则的面积.

由直线与圆相切，设：，与联立得

.

直线：与轴交于点，则.

则的面积，

从而.（当且仅当时等号成立），

所以的最小值为.