Question

【题目】设定义在上的函数满足：对任意的，当时，都有.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若为周期函数，证明：是常值函数；

（3）若在上满足：，，，

①记（），求数列的通项公式；② 求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）①；②.

【解析】

（1）直接由f（x1）﹣f（x2）≤0求得a的取值范围；

（2）若f（x）是周期函数，记其周期为Tk，任取x0∈R，则有f（x0）＝f（x0+Tk），证明对任意x∈[x0，x0+Tk]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+Tk），可得f（x0）＝f（x0+nTk），n∈Z，再由…∪[x0﹣3Tk，x0﹣2Tk]∪[x0﹣2Tk，x0﹣Tk]∪[x0﹣Tk，x0]∪[x0，x0+Tk]∪[x0+Tk，x0+2Tk]∪…＝R，可得对任意x∈R，f（x）＝f（x0）＝C，为常数；

（3）依题意，可求得f（1）＝1，f（）f（1），再分别利用f（）f（x），即可求得答案．

（1）由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）＝a（x13﹣x23）≤0，

∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0．

故a的范围是[0，+∞）；

（2）若f（x）是周期函数，记其周期为Tk，任取x0∈R，则有

f（x0）＝f（x0+Tk），

由题意，对任意x∈[x0，x0+Tk]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+Tk），

∴f（x0）＝f（x）＝f（x0+Tk）．

又∵f（x0）＝f（x0+nTk），n∈Z，并且

…∪[x0﹣3Tk，x0﹣2Tk]∪[x0﹣2Tk，x0﹣Tk]∪[x0﹣Tk，x0]∪[x0，x0+Tk]∪[x0+Tk，x0+2Tk]∪…＝R，

∴对任意x∈R，f（x）＝f（x0）＝C，为常数；

（3）①∵f（0）＝0，f（x）+f（1﹣x）＝1，

∴f（1）＝1，

由f（）+f（1）＝1，

∴f（），

∵f（）f（x），

令x＝1时，可得f（）f（1），

f（）f（）＝（）2，

∴f（）＝（）n，

∵，

∴an

②∵a4＝f（），a5＝f（）．

∵f（x）+f（1﹣x）＝1，

令x，则f（），

由f（）f（x），可得f（）f（），

于是f（），f（），f（），

由f（）≤f（）≤f（）

∴f（）