题目内容
【题目】已知抛物线
：
，过其焦点
作斜率为1的直线交抛物线于
，
两点，且线段
的中点的纵坐标为4.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若不过原点
且斜率存在的直线
与抛物线相交于
、
两点，且
.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）根据线段
的中点的纵坐标为4，直线的斜率为1，利用抛物线的方程，求解
，即可得到抛物线的方程；
（2）设直线
：
，联立方程组，利用根与系数的关系，求得
，
，再由
得
，即可得到结论．
（1）设
，
两点的坐标分别为
，
，
则
，
，两式相减得
.
即
，
又线段
的中点的纵坐标为4，直线的斜率为1，∴
，∴
.
即抛物线
的标准方程为
.
（2）设直线：
与抛物线：交于点
，
，
则
，
，∴
，
∴
，
，
由
得
，即
，
，
直线为
，∴过定点
.
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