Question

已知方程x²-2ax-b²+16=0（a，b∈R）．
（1）若a，b分别是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两个不同正根的概率；
（2）若a∈[0，6]，b∈[0，4]，求方程没有实根的概率．

Answer 1

考点：几何概型

专题：计算题,概率与统计

分析：（1）这是一个古典概型问题，总件数由分步计数原理知是36，满足条件的事件数在整理时要借助于根与系数之间的关系，根的判别式，要进行讨论得到结果；
（2）本题是一个几何概型，试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|0≤a≤6，0≤b≤4}，满足条件的事件为：B={（a，b）|0≤a≤6，0≤b≤4，a²+b²＜16}，做出两者的面积，得到概率．

解答： 解：（1）基本事件（a，b）共有36个，方程有不同正根等价于

2a＞0 16-b2＞0 △＞0

⇒

a＞0 -4＜b＜4 a2+b2＞16.

设“方程有两个不同正根”为事件A，则事件A包含的基本事件为（6，1），（6，2），（6，3），（5，1），（5，2），（5，3），（4，1），（4，2），（4，3），（3，3），共10个，
故所求的概率为P（A）=

10

36

=

5

18

.6分
（2）试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|0≤a≤6，0≤b≤4}，其面积为S（Ω）=24，
设“方程无实根”为事件B，则构成事件B的区域为B={（a，b）|0≤a≤6，0≤b≤4，a²+b²＜16}，
其面积为S（B）=

1

4

×π×4²=4π，
故所求的概率为P（B）=

4π

24

=

π

6

.12分．

点评：本题考查古典概型和几何概型，解决古典概型问题时，先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．