Question

△ABC中，cosAcosBcosC的最大值是（　　）

• A、

  3

  8

  3

• B、

  1

  8

• C、1
• D、

  1

  2

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数

专题：计算题,三角函数的图像与性质,不等式的解法及应用

分析：设y=cosAcosBcosC，运用积化和差和二次方程有实根，判别式不小于0，解不等式结合余弦函数的值域，即可得到最大值．

解答： 解：设y=cosAcosBcosC，
则2y=[cos（A+B）+cos（A-B）]cosC，
∴cos²C-cos（A-B）cosC+2y=0，
构造一元二次方程x²-cos（A-B）x+2y=0，
则cosC是一元二次方程的根，
由cosC是实数知：△=cos²（A-B）-8y≥0，
即8y≤cos²（A-B）≤1，
∴y≤

1

8

，
当A=B=C=60°时，取得最大值

1

8

．
故选B．

点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查积化和差和余弦函数的图象和性质，考查不等式的解法，属于中档题．