Question

设为奇函数，（a＞1且m≠1）
（1）求m的值及g（x）的定义域；
（2）若g（x）在上恒为正，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据为奇函数，f（x）+f（-x）=0，结合对数的运算性质，可得m²=1，结合m≠1得m=-1，进而根据对数函数真数大于0，构造不等式组，求出函数的定义域．
（2）根据g（x）在上恒为正，结合底数大于1，可得真数恒大于1，进而a＞-，x∈恒成立，构造函数y=-，结合函数在上的单调性，求出最值，可得答案．
解答：解：（1）∵是奇函数
∴f（x）+f（-x）=+==0
解得m²=1
由m≠1得m=-1． …（2分）
∴，
∴g（x）=
则，
即x＜-1，或x＞1，
∴g（x）的定义域为{x|x＜-1，或x＞1}． …（6分）
（2）∵a＞1
g（x）=在上恒为正，
即＞1，…（8分）
∴a＞-，x∈，…（10分）
由于y=-在上为增函数
故-≤-=2
∴a＞2
故a的取值范围为（2，+∞）                …（12分）
点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数奇偶性与单调性的综合，是函数图象和性质的综合应用，难度稍大，应属于中档题．