Question

设函数f(x)=a-

1

2x+1

（1）求证：不论a为何实数，f（x）是增函数
（2）确定a的值，使f（x）是奇函数
（3）当f（x）为奇函数时，求关于t的不等式f（2t-1）+f（t-2）＜0的解集．

Answer 1

分析：（1）利用函数的单调性定义即可证明；
（2）利用奇函数的定义即可证明；
（3）利用函数的奇偶性和单调性即可求出．

解答：解：（1）证明：?x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=a-

1

2x1+1

-(a-

1

2x2+1

)=

1

2x2+1

-

1

2x1+1

=

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，∴0＜2x1＜2x2，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
因此不论a为何实数，f（x）是增函数；
（2）由f（0）=0，解得a=

1

2

，
可以验证：当a=

1

2

时，f（x）是奇函数；
（3）由（2）可知：a=

1

2

．
∴f(x)=

1

2

-

1

2x+1

，
∵不等式f（2t-1）+f（t-2）＜0，
∴f（2t-1）＜-f（t-2）=f（2-t），
由（1）可知：函数f（x）在R上单调递增，
∴2t-1＜2-t，
解得t＜1．
∴关于t的不等式f（2t-1）+f（t-2）＜0的解集是（-∞，1）．

点评：熟练掌握函数的奇偶性和单调性是解题的关键．