Question

已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为；
（1）求椭圆与双曲线的离心率e₁、e₂；
（2）求双曲线的标准方程与渐近线方程；
（3）已知直线与椭圆有两个交点，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）椭圆中，由a=2，c=，能求出椭圆离心率e₁，由双曲线与椭圆离心率之和为，能求出双曲线的离心率e₂．
（2）由椭圆焦点为F₁（-，0），F₂（，0），双曲线与椭圆共焦点，知双曲线的焦点为F₁（-，0），F₂（，0），再由双曲线的离心率e₂=．能求出双曲线的标准方程和渐近线方程．
（3）由，得2x²+4mx+4m²-4=0，直线与椭圆有两个交点，知△=（4m）²-8（4m²-4）＞0，由此能求出m的取值范围．
解答：解：（1）∵椭圆中，
a=2，c=
∴椭圆离心率e₁=．
∵双曲线与椭圆的离心率之和为，
∴双曲线的离心率e₂==．
（2）∵椭圆焦点为F₁（-，0），F₂（，0），
双曲线与椭圆共焦点，
∴双曲线的焦点为F₁（-，0），F₂（，0），
∵双曲线的离心率e₂=．
∴双曲线的标准方程为，
∴双曲线的渐近线方程为y=x．
（3）由，得2x²+4mx+4m²-4=0，
∵直线与椭圆有两个交点，
∴△=（4m）²-8（4m²-4）＞0，
解得-．
故m的取值范围是（-）．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．