Question

已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0．
（1）写出圆C的标准方程；
（2）是否存在斜率为1的直线m，使m被圆C截得的弦为AB，且以AB为直径的圆过原点．若存在，求出直线m的方程； 若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）将圆的一般方程化为标准形式即可．
（2）设出斜率为1的直线m的方程为：y=x+b，与圆的方程联立，设出A，B两点的坐标，利用OA⊥OB，结合韦达定理即可求得b的值．

解答：解：（1）∵x²+y²-2x+4y-4=0，
∴（x-1）²+（y+2）²=3²，
（2）设存在斜率为1的直线m，其方程为y=x+b，
与圆C的方程x²+y²-2x+4y-4=0联立得：2x²+（2b+2）x+b²+4b-4=0，
∵△=4（b+1）²-8（b²+4b-4）＞0，
∴-3-3

2

＜b＜-3+3

2

，
设交点A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），x₁、x₂为方程2x²+（2b+2）x+b²+4b-4=0的两根，
∴x₁+x₂=-（b+1），x₁x₂=

b2+4b-4

2

，
∵以AB为直径的圆过原点，
∴向量

OA

•

OB

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=0，
∴b²+3b-4=0
∴b=-4或b=1，均满足-3-3

2

＜b＜-3+3

2

，
∴m为y=x+1 或 y=x-4

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的标准方程，考查韦达定理的应用，着重考查化归思想与方程思想的运用，属于难题．