Question

19．已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=3+\sqrt{5}cosα\\ y=1+\sqrt{5}sinα\end{array}$（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）若直线的极坐标方程为sinθ-cosθ=$\frac{1}{ρ}$，求直线被曲线C截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）求出曲线C的普通方程为（x-3）²+（y-1）²=5，即可将$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$代入并化简，求曲线C的极坐标方程；
（2）直角坐标方程为y-x=1，求圆心C到直线的距离，即可求出直线被曲线C截得的弦长．

解答 解：（1）∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=3+\sqrt{5}cosα\\ y=1+\sqrt{5}sinα\end{array}\right.$（α为参数），
∴曲线C的普通方程为（x-3）²+（y-1）²=5，
曲线C表示以（3，1）为圆心，$\sqrt{5}$为半径的圆，
将$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$代入并化简：ρ²-6ρcosθ-2ρsinθ+5=0．
（2）直角坐标方程为y-x=1，
∴圆心C到直线的距离为$d=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，∴弦长为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查圆的参数方程、普通方程、极坐标方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．