Question

9．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+3a，x＜0\\{log_a}（{x+1}）+1，x≥0\end{array}$（a＞0且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2-x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是$[{\frac{1}{3}，\frac{2}{3}}]∪\left\{{\frac{3}{4}}\right\}$．

Answer 1

分析 由y=log_a（x+1）+1在[0，+∞） 上递减，得0＜a＜1，由f（x）在R上单调递减，得a$≥\frac{1}{3}$，作出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+3a，x＜0\\{log_a}（{x+1}）+1，x≥0\end{array}$（a＞0且a≠1）在R上的大致图象，利用数形结合思想能求出a的取值范围．

解答 解：由y=log_a（x+1）+1在[0，+∞） 上递减，得0＜a＜1，
又由f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+3a，x＜0\\{log_a}（{x+1}）+1，x≥0\end{array}$（a＞0且a≠1）在R上单调递减，
得0²+3a≥f（0）=1，解得a$≥\frac{1}{3}$，
作出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+3a，x＜0\\{log_a}（{x+1}）+1，x≥0\end{array}$（a＞0且a≠1）在R上的大致图象，
由图象可知，在[0，+∞） 上，|f（x）|=2-x 有且仅有一个解，
故在（-∞，0）上，|f（x）|=2-x 同样有且仅有一个解，
当3a＞2，即a＞$\frac{2}{3}$ 时，联立|x²+3a|=2-x，
则△=1²-4（3a-2）=0，解得：$a=\frac{3}{4}$，
当1≤3a≤2 时，由图象可知，符合条件．
综上：a∈[$\frac{1}{3}，\frac{2}{3}$]∪{$\frac{3}{4}$}．
故答案为：[$\frac{1}{3}，\frac{2}{3}$]∪{$\frac{3}{4}$}．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质及数形结合思想的合理运用．