题目内容
四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面SDC⊥底面ABCD，AD=
，DC=SD=2，
，点M是侧棱SC的中点．（Ⅰ）求证：SD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角C-AM-B的大小．
【答案】分析：（Ⅰ）欲证SD⊥平面ABCD，可根据面面垂直的性质可知只需证明平面SDC⊥底面ABCD，由勾股定理的逆定理知，SD⊥DC，满足面面垂直的判定定理的条件；
（Ⅱ）以D为坐标原点，以DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴，建系D-xyz，然后求出平面CAM的一个法向量和平面AMB的一个法向量，求出两法向量所成角即为二面角C-AM-B的平面角．
解答：
证明：（Ⅰ）因为DC=SD=2，
，由勾股定理的逆定理知，SD⊥DC，又平面SDC⊥底面ABCD于DC，SD?平面SDC，
所以，SD⊥平面ABCD．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，SD⊥DCSD⊥AD，又AD⊥DC，建系D-xyz．
于是，
，C（0，2，0），S（0，0，2），M（0，1，1），
，
，
设
为平面CAM的一个法向量，
则
，得
又
，设
为平面AMB的一个法向量，
则
，得
因为
，所以二面角C-AM-B为：
点评：本题主要考查了线面垂直的判定，以及二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．
（Ⅱ）以D为坐标原点，以DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴，建系D-xyz，然后求出平面CAM的一个法向量和平面AMB的一个法向量，求出两法向量所成角即为二面角C-AM-B的平面角．
解答：
证明：（Ⅰ）因为DC=SD=2，
，由勾股定理的逆定理知，SD⊥DC，又平面SDC⊥底面ABCD于DC，SD?平面SDC，所以，SD⊥平面ABCD．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，SD⊥DCSD⊥AD，又AD⊥DC，建系D-xyz．
于是，
，C（0，2，0），S（0，0，2），M（0，1，1），
，
，设
为平面CAM的一个法向量，则
，得
又
，设
为平面AMB的一个法向量，则
，得
因为
，所以二面角C-AM-B为：
点评：本题主要考查了线面垂直的判定，以及二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．
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