Question

圆C的方程为（x-2）²+y²=4，圆M的方程为（x-2-5sinθ）²+（y-5cosθ）²=1（θ∈R），过圆C上任意一点P作圆M的两条切线PE、PF，切点分别为E、F，则的最小值是（ ）
A．6
B．
C．7
D．

Answer 1

【答案】分析：由两圆的圆心距|CM|=5大于两圆的半径之和可得两圆相离，如图所示，则的最小值是，
利用 两个向量的数量积的定义求出的值，即为所求．
解答：解：（x-2）²+y²=4的圆心C（2，0），半径等于2，圆M  （x-2-5sinθ）²+（y-5cosθ）²=1，
圆心M（2+5sinθ，5cosθ），半径等于1．∵|CM|==5＞2+1，故两圆相离．
∵=•cos∠EPF，要使   最小，需 最小，且∠EPF 最大，
如图所示，设直线CM 和圆C 交于H、G两点，则的最小值是．
|H M|=|CM|-2=5-2=3，|H E|===2，sin∠MHE==，
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin²∠MHE=，
∴=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2×2×=，故选 B．

点评：本题考查两圆的位置关系，两圆的切线，两个向量的数量积的定义，二倍角的余弦公式，体现了数形结合
的数学思想，判断的最小值是，是解题的关键，属于中档题．