Question

已知函数，其中.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若直线是曲线的切线，求实数的值；
（Ⅲ）设，求在区间上的最大值.
（其中为自然对数的底数）

Answer 1

解：（Ⅰ），（），                                ……………3分
在区间和上，；在区间上，.
所以，的单调递减区间是和，单调递增区间是.  ………4分
（Ⅱ）设切点坐标为，则         ……………7分（1个方程1分）
解得，.                                              ……………8分
（Ⅲ），
则，                                        …………………9分
解，得，
所以，在区间上，为递减函数，
在区间上，为递增函数.                     ……………10分
当，即时，在区间上，为递增函数，
所以最大值为.                     ………………11分
当，即时，在区间上，为递减函数，
所以最大值为.                            ………………12分
当，即时，的最大值为和中较大者；
，解得，
所以，时，最大值为，        …………………13分
时，最大值为.                …………………14分
综上所述，当时，最大值为，当时，的最大值为.

解析