题目内容
已知
=(cosx，2
cosx)，
=(2cosx，sinx)，且f（x）=
•
．
（I）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若（a+2c）cosB=-bcosA成立，求f（A）的取值范围．
| a |
| 3 |
| b |
| a |
| b |
（I）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若（a+2c）cosB=-bcosA成立，求f（A）的取值范围．
分析：（I）利用两个向量的数量积公式化简f（x）的解析式为 2sin（2x+
）+1，从而求得它的周期．再由
2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，k∈z，求出x的范围，即可得到函数的单调递增区间．
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得 cosB=-
，B=
得到 f（A）=2sin（2A+
）+1，根据A的范围，
求出 2A+
的范围，可得sin（2A+
）的范围，从而求得f（A）的取值范围．
| π |
| 6 |
2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得 cosB=-
| 1 |
| 2 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 6 |
求出 2A+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
解答：解：（I）f（x）=
•
=2cos2x+2
sinxcosx=2sin（2x+
）+1，故函数的周期为π．
令 2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，k∈z，可得 kπ-
≤x≤kπ+
，k∈z，
故函数的单调递增区间为[kπ-
，kπ+
]，k∈z．
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得（sinA+2sinC）cosB=-sinBcosA，
即sinAcosB+2sinCcosB=-sinBcosA，sinAcosB+sinBcosA=-2sinCcosB，
即sin（A+B）=-2sinCcosB，∴cosB=-
，B=
，∴f（A）=2sin（2A+
）+1．
由于 0＜A＜
，∴
＜2A+
＜
，＜
sin（2A+
）≤1，2＜f（A）≤3，
故f（A）的取值范围为（2，3]．
| a |
| b |
| 3 |
| π |
| 6 |
令 2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
故函数的单调递增区间为[kπ-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得（sinA+2sinC）cosB=-sinBcosA，
即sinAcosB+2sinCcosB=-sinBcosA，sinAcosB+sinBcosA=-2sinCcosB，
即sin（A+B）=-2sinCcosB，∴cosB=-
| 1 |
| 2 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 6 |
由于 0＜A＜
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
故f（A）的取值范围为（2，3]．
点评：本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，两个向量的数量积公式，正弦定理的应用，属于中档题．
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已知已知
=(cosx，sinx)，
=(sinx，cosx)，记f(x)=
•
，要得到函数y=sin2x-cos2x的图象，只须将y=f（x）的图象（ ）
| a |
| b |
| a |
| b |
A、向右平移
| ||
B、向右平移
| ||
C、向左平移
| ||
D、向左平移
|