题目内容

已知正数x，y满足x+2y=3，当xy取得最大值时，过点P（x，y）引圆 $数学公式$ 的切线，则此切线段的长度为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

C
分析：利用基本不等式求出 xy≤ $\text{[math]}$ ，此时点P（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），求出点P到圆心（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的距离d 及圆的半径，由勾股定理可得切线段的长度为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
解答：∵正数x，y满足x+2y=3，
∴3≥2 $\text{[math]}$ ，xy≤ $\text{[math]}$ ，
当且仅当x=2y= $\text{[math]}$ ，即 x= $\text{[math]}$ ，y= $\text{[math]}$ 时，等号成立，
故点P（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
由于点P到圆心（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的距离d= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，半径r= $\text{[math]}$ ，
由勾股定理可得切线段的长度为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故选：C．
点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，直线和圆的位置关系，求出点P（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），是解题的关键．