题目内容

已知向量
a
=(sinx，cosx+sinx)，
b
=(2cosx，cosx-sinx)，x∈R，设函数f(x)=
a
•
b

（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及相应的自变量x的取值集合；
（II）当x0∈(0，
π
8
)且f(x0)=
4
2
5
时，求f(x0+
π
3
)的值
（Ⅰ）∵
a
=(sinx，cosx+sinx)，
b
=(2cosx，cosx-sinx)，
∴f(x)=
a
•
b
=（sinx，cosx+sinx）•（2cosx，cosx-sinx）=2sinxcosx+cos2x-sin2x（1分）
=sin2x+cos2x（3分）
=
2
sin(2x+
π
4
)（4分）
∴函数f（x）取得最大值为
2
．（5分）
相应的自变量x的取值集合为{x|x=
π
8
+kπ（k∈Z）}（7分）
（II）由f(x0)=
4
2
5
得
2
sin(2x0+
π
4
)=
4
2
5
，即sin(2x0+
π
4
)=
4
5

因为x0∈(0，
π
8
)，所以2x0+
π
4
∈(
π
4
，
π
2
)，从而cos(2x0+
π
4
)=
3
5
（9分）
于是f(x0+
π
3
)=
2
sin(2x0+
π
4
+
π
3
)=
2
sin[(2x0+
π
4
)+
π
3
]=
2
sin[(2x0+
π
4
)+
π
3
]=
2
[sin(2x0+
π
4
)cos
π
3
+cos(2x0+
π
4
)sin
π
3
]
=
2
(
4
5
×
1
2
+
3
5
×
3
2
)=
4
2
+3
6
10
（14分）
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表达式．
（2）用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期上的图象．
（3）写出f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
（4）设关于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根为x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．
已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，则sin2θ+cos2θ的值为（　　）
已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此结论求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五点法”作出函数y=f（x）在长度为一个周期的闭区间的图象．
②求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
③求函数f（x）的最大值，并求出取得最大值时自变量x的取值集合
④函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？
⑤当x∈[0，π]，求函数y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作图
精英家教网

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网