Question

椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.

（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；

（Ⅱ）若，求直线PQ的方程；

（Ⅲ）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明:.

Answer 1

（Ⅰ）椭圆的方程为，离心率.（Ⅱ）直线PQ的方程为或,（Ⅲ）同解析。

解析:

（Ⅰ）解：由题意，可设椭圆的方程为.

由已知得解得

所以椭圆的方程为，离心率.

（Ⅱ）解：由（1）可得A（3，0）.设直线PQ的方程为.由方程组

得

依题意，得.

设，则，     ①

.    ② 

由直线PQ的方程得.于是

.    ③

∵，∴.    ④.

 由①②③④得，从而.

所以直线PQ的方程为或.

（Ⅲ）证明：.

由已知得方程组(注意)

解得. 因，

故.

而，所以.