Question

已知椭圆过点，且它的离心率．直线

与椭圆交于、两点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）当时，求证：、两点的横坐标的平方和为定值；

（Ⅲ）若直线与圆相切，椭圆上一点满足，求实数的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) ；

(Ⅱ)，为定值．

（Ⅲ）的取值范围为 ．

【解析】

试题分析：(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为

由已知得：，解得   

所以椭圆的标准方程为：   4分

(Ⅱ) 由，得，设，，

则，为定值． 9分

（Ⅲ）因为直线与圆相切

所以，     

把代入并整理得：

设，则有 

因为，， 所以，

又因为点在椭圆上， 所以，

．   因为    所以 ，

所以 ，所以 的取值范围为 ．     16分

考点：本题主要考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质，直线与圆、椭圆的位置关系，二次函数性质。

点评：中档题，涉及椭圆的题目，在近些年高考题中是屡见不鲜，往往涉及求标准方程，研究直线与椭圆的位置关系。求标准方程，主要考虑定义及a,b,c,e的关系，涉及直线于椭圆位置关系问题，往往应用韦达定理。涉及直线于圆的位置关系问题，往往利用“特征三角形”。本题在应用韦达定理的基础上，得到参数的表达式，应用二次函数性质使问题得解。