Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB=AC=2a，AA1=t•a（t＞0，t∈R），∠BAC=120°，
（1）若在BC上存在点D，使DA₁⊥平面AB₁C₁，求实数t的值，并判断D点的位置；
（2）在（1）成立的条件下，求二面角D-AC₁-B₁大小的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）可考虑用空间向量来解决立体几何问题，若DA₁⊥平面AB₁C₁，则垂直于平面AB₁C₁上两个不共线向量．
先建立空间直角坐标系，把定点坐标表示出来，求出向量的坐标，在平面AB₁C₁上，找两个不共线的向量，求出坐标，再计算这两个向量与的数量积，让数量积等于0，求D点坐标，若能求出，则ED点存在，否则，不存在．
（2）求二面角的大小，只需求这两个平面的法向量夹角的大小，法向量的夹角，是这两个平面所成角，或所成角的补角．
解答：解：（1）以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，Aa1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则
A（0，0，0），B（，-a，0）C（0，2a，0），A1（0，0，ta），B1（，-a，ta），C1（0，2a，ta）
令=λ，D（x，y，z），∴（x-a，y+a，z）=λ（0-a，2a+a，0）
∴，∴D（-aλ+a，3aλ-a，0）
=（-aλ+a，3aλ-a，-ta），=（，-a，ta），=（0，2a，ta）

∴t=1，λ=，D是BC的中点．
（2）平面DAC1的法向量为=（1，-，2），平面DAC1的法向量为=（，1，-2）
cos＜＞==，∴二面角D-AC₁-B₁大小的余弦值w为．
点评：本题考查了利用空间向量证明线面垂直，以及求二面角的大小的问题，属于空间向量的应用．