题目内容

已知函数 $数学公式$ （x∈R），且 $数学公式$ ．
（1）判断函数y=f（x）在R上的单调性，并用定义法证明；
（2）若 $数学公式$ ，求x的取值范围．

解：（1）由已知得 $\text{[math]}$ ，m³=8，∴m=2…（3分）
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
又∵x₂＞x₁，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，即f（x₂）-f（x₁）＞0，f（x₂）＞f（x₁）
∴函数y=f（x）在R上为单调增函数． …（9分）
（2）∵ $\text{[math]}$ ，由（1）知函数y=f（x）在R上为单调增函数，
∴ $\text{[math]}$ ，
化简得 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ …（14分）（不写集合形式不扣分）
分析：（1）由 $\text{[math]}$ 求出m的值，得到函数f（x）的解析式．任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，我们构造出f（x₂）-f（x₁）的表达式，根据实数的性质，我们易出f（x₂）-f（x₁）的符号，进而根据函数单调性的定义，得到答案．
（2）由（1）知函数y=f（x）在R上为单调增函数，根据题意脱去函数符号“f“，转化为关于x的分式不等式，解之即得．
点评：本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，其中作差法（定义法）证明函数的单调性是我们中学阶段证明函数单调性最重要的方法，一定要掌握其解的格式和步骤．