Question

已知sinθ+cosθ=-

10

5

．（0＜θ＜π）求：
（1）tanθ的值；
（2）sinθ-cosθ的值；
（3）

1

sinθ

=

1

cosθ

的值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得θ 为钝角，且|sinθ|＜|cosθ|，-1＜tanθ＜0，把条件平方可得 sinθcosθ=-

3

10

，可得
 

tanθ

tan2θ+1

=-

3

10

，解出tanθ 的值．
（2）根据 （sinθ-cosθ）²=

8

5

，再由sinθ-cosθ＞0，可得sinθ-cosθ 的值．
（3）由于

1

sinθ

+

1

cosθ

=

sinθ+cosθ

sinθcosθ

，把已经求出的结果代入运算即得结果．

解答：解：（1）由sinθ+cosθ=-

10

5

，（0＜θ＜π） 可得，θ 为钝角，且|sinθ|＜|cosθ|，故-1＜tanθ＜0．
把条件平方可得 sinθcosθ=-

3

10

，∴

sinθcosθ

sin2θ+cos2θ

=-

3

10

，∴

tanθ

tan2θ+1

=-

3

10

，
即得  tanθ=-

1

3

．
（2）（sinθ-cosθ）²=1-2sinθcosθ=

8

5

，再由sinθ-cosθ＞0，可得 sinθ-cosθ=

8 5

=

2 10

5

．
（3）

1

sinθ

+

1

cosθ

=

sinθ+cosθ

sinθcosθ

=

- 10 5

- 3 10

=

2 10

3

．

点评：本题考查同角三角函数的基本关系，三角函数在各个象限中的符号，判断θ 为钝角，且|sinθ|＜|cosθ|，-1＜tanθ＜0，
是解题的关键．