Question

已知：圆x²+y²=1过椭圆的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点：直线y=kx+m与圆x²+y²=1相切，与椭圆相交于A，B两点记．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求k的取值范围；
（Ⅲ）求△OAB的面积S的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）欲求椭圆的方程，只需求出a，b的值，因为圆x²+y²=1过椭圆的两焦点，可求出a，因为圆x²+y²=1与椭圆有且仅有两个公共点，可求出b，椭圆的方程可知．
（Ⅱ）因为直线y=kx+m与圆x²+y²=1相切，可把m用k表示，再让直线方程与椭圆方程联立，把λ用k表示，根据λ的范围，就可求出k的范围．
（Ⅲ）因为△OAB的面积S=|AB|•d，把|AB|用k表示，d=1，这样，S就可用含k的式子表示了，再把（2）中求出的k的范围代入，就可得到△OAB的面积S的取值范围．
解答：解；（Ⅰ）由题意知，椭圆的焦距2c=2∴c=1
又∵圆x²+y²=1与椭圆有且仅有两个公共点，∴b=1，∴a=
∴圆的方程为
（Ⅱ）∵直线y=kx+m与圆x²+y²=1相切，∴原点O到直线的距离=1，即m²=k²+1
把直线y=kx+m代入椭圆，可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0
设A（x₁，y₁），B（x₁，y₂），则
=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=（1+k²）+m²
∵，∴，解得，≤k²≤1
∴k的取值范围是[-1，-]∪[，1]；
（Ⅲ）|AB|²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=（1+k²）（x₁-x₂）²
=（1+k²）[-4]=（1+k²）[-]
=（1+k²）=2-
S_△OAB²=|AB|²×1=（）
∵≤k²≤1，∴
∴，∴
即≤S_△OAB²=≤
∴≤S_△OAB≤
∴△OAB的面积S的取值范围为[，]
点评：本题考查了椭圆方程的求法，以及椭圆与直线的位置关系的判断．做题时要细心．