Question

（本题10分）已知，动点满足，设动点的轨迹是曲线，直线：与曲线交于两点.（1）求曲线的方程；
（2）若，求实数的值；
（3）过点作直线与垂直，且直线与曲线交于两点，求四边形面积的最大值.

Answer 1

（1）曲线的方程为；（2）。
（3）当时，四边形面积有最大值7.

试题分析：（1）设为曲线上任一点，则由，化简整理得。
（2）因为根据向量的关系式，，所以，所以圆心到直线的距离，所以 
（3）对参数k，分情况讨论，当时，,
当时，圆心到直线的距离，所以
，同理得|PQ|，求解四边形的面积。
解：（1）设为曲线上任一点，则由，化简整理得。
曲线的方程为              --------------3分 
（2）因为，所以，
所以圆心到直线的距离，所以。   -----6分
（3）当时，,
当时，圆心到直线的距离，所以
，同理得
所以
=7当且仅当时取等号。
所以当时，
综上，当时，四边形面积有最大值7.           --11
点评：解决该试题的关键是设出所求点满足的关系式，化简得到轨迹方程，同时利用联立方程组的思想得到长度和面积的表示。