Question

（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，，、分别是，的中点．

（1）求证：∥平面；

（2）求证：平面平面；

（3）若，，求三棱锥的体积．

Answer 1

（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3）.

【解析】

试题分析：本题以直三棱柱为几何背景，考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、线线平行、线面平行、三棱锥的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化能力、计算能力. 第一问，先利用中，EF为中位线，得出，再利用线面平行的判定得平面；第二问，结合第一问，而利用平面线面垂直的性质，可得，由于，所以得，所以利用线面垂直的判定得平面，最后利用面面垂直的判定得平面平面；第三问，利用等体积转化法将转化为，再计算体积.

试题解析：（1）连结，∵直三棱柱中，四边形是矩形，

∴点在上，且为的中点．

在中，∵ E，F分别是，的中点， 故． 2分

又∵平面，平面，∴平面 4分

（2）在直三棱柱中，平面，∴ 6分

由（1）知，且，则

∵，∴平面 9分

又∵平面，∴平面平面 10分

（3） 12分

14分

考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直、线线平行、线面平行、三棱锥的体积.