Question

已知等比数列{a_n}的公比大于1，S_n是数列{a_n}的前n项和，S₃=14，且a₁+8，3a₂，a₃+6依次成等差数列，数列{b_n}满足：b₁=1，bn=an(

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an-1

)（n≥2）
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）求数列{

bn

an

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）要求数列{a_n}、{b_n}的通项公式，由于已知等比数列{a_n}的公比大于1，S_n是数列{a_n}的前n项和，S₃=14，且a₁+8，3a₂，a₃+6依次成等差数列，由这些关系建立方程可以求出首项与公比，求出数列{a_n}的通项公式，将其代入bn=an(

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an-1

)即可求得}、{b_n}的通项公式．
（2）求数列{

bn

an

}的前n项和T_n．先求出数列{

bn

an

}的通项公式，由其形式可以得出，需要分组求和．

解答：解：（1）∵a₁+8，3a₂，a₃+6依次成等差数列，
∴6a₂=a₁+8+a₃+6=a₁+a₃+14，
又∵S₃=a₁+a₂+a₃=14，
∴a₂=4，从而得a₁=2，a₃=8，
∴a_n=2ⁿ，故有

1

an

=

1

2n

∴当n≥2时，bn=an(

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an-1

)=2ⁿ×

1 2 ×(1- 1 2n-1 )

1- 1 2

=2ⁿ-2
故b_n=

1    n=1 2n-2  n≥2

（2）∵

bn

an

= 

1 2 ，n=1 1-2n-1 n≥2

∴T_n=

1

2

+n-1+

1 2 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

=n-

3

2

+(

1

2

)n-1

点评：本题考查等差等比数列的综合以及分组求和的技巧，其特征是一个数列的通项如果一个等差数列的项与一个等比数列的项，则可以采用分组的方法求和．