Question

6．对于函数f（x）和g（x）定义运算“*”如下：设D为f（x）和g（x）的公共定义域，对下任意x∈D，当f（x）≤g（x）时，f（x）*g（x）=f（x），当f（x）＞g（x）时，f（x）*g（x）=g（x），己知f（x）=$\sqrt{x+3}$，g（x）=3-x，则f（x）*g（x）的最大值是2．

Answer 1

分析 先求f（x）与g（x）的公共定义域，再讨论以确定f（x）*g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x+3}，-3≤x≤1}\\{3-x，x＞1}\end{array}\right.$，从而判断单调性以求最大值．

解答 解：函数f（x）=$\sqrt{x+3}$与g（x）=3-x的公共定义域为[-3，+∞），
当-3≤x≤1时，f（x）≤g（x），
当x＞1时，f（x）＞g（x）；
故f（x）*g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x+3}，-3≤x≤1}\\{3-x，x＞1}\end{array}\right.$，
故f（x）*g（x）在[-3，1]上单调递增，
在（1，+∞）上单调递减；
故当x=1时，f（x）*g（x）有最大值2，
故答案为：2．

点评 本题考查了分类讨论的思想应用及分段函数的应用．