Question

6．平面直角坐标系中，角θ满足$sin\frac{θ}{2}=-\frac{4}{5}$，$cos\frac{θ}{2}=\frac{3}{5}$，$\overrightarrow{OA}=（{-1\;，\;0}）$，设点B是角θ终边上一动点，则$|{\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}}|$的最小值是$\frac{24}{25}$．

Answer 1

分析 由条件利用二倍角公式求得cosθ 和sinθ 的值，根据任意角的三角函数的定义求得B的坐标，再根据向量模的计算得到关于m的函数，根据函数的性质求出最值．

解答 解：∵$sin\frac{θ}{2}=-\frac{4}{5}$，$cos\frac{θ}{2}=\frac{3}{5}$，
∴sinθ=2sin$\frac{θ}{2}$cos$\frac{θ}{2}$=-2×$\frac{4}{5}$×$\frac{3}{5}$=-$\frac{24}{25}$，cosθ=2cos²$\frac{θ}{2}$-1=-$\frac{7}{25}$，
∵点B是角θ终边上一点，
不妨设|$\overrightarrow{OB}$|=25m（m＞0），则B（-7m，-24m），
∵$\overrightarrow{OA}=（{-1\;，\;0}）$，
∴$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$=（-1+7m，24m），
∴$|{\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}}|$²=（-1+7m）²+（24m）²=625m²-14m+1，
当m=$\frac{7}{625}$时，有最小值，最小值为$\frac{576}{625}$，
故$|{\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}}|$的最小值是$\frac{24}{25}$，
故答案为：$\frac{24}{25}$．

点评 本题主要考查二倍角公式，任意角的三角函数的定义，向量的模，二次函数的性质，属于中档题．