题目内容

某商店投入81万元经销某种济南全运会特许纪念品，经销时间共60天，市场调研表明，该商店在经销这一产品期间第几天的利润an=

1

1

10

n

(1≤n≤20)

(21≤n≤60)

（单位：万元，n∈N*）为了获得更多的利润，商店将每天获得利润投入到次日的经营中，记第n天的利润bn=

第n天的利润

这几天的投入资金总和

，例如：b3=

a3

81+a1+a2

．
（Ⅰ）求b₁，b₂的值；
（Ⅱ）求第几天的利润率b_n；
（Ⅲ）该商店的经销此纪念品期间，哪一天的利润最大？并求该日的利润率．

分析：（Ⅰ）按照bn的表达式，代入数据计算即可．
（Ⅱ）按照bn的表达式进行代入数值求解，注意分子、分母表达式的变化，需对n进行分类讨论．
（Ⅲ）利用数列的单调性及均值不等式法去求bn的最大值．

解答：解：（Ⅰ）当n=1时，b1=

1

81

；当n=2时，b2=

1

82

，
（Ⅱ）当1≤n≤20时，a₁=a₂=a₃=…=a_n-1=a_n=1．
∴bn=

an

81+a1+a2+…+an-1

=

1

80+n-1

=

1

n+80

．
当21≤n≤60时，bn=

an

81+a1+…+a20+a21+…+an-1

=

1

10

n

81+20+a21+…+an-1

1

10

n

101+

(n-21)(n+20)

20

=

2n

n2-n+1600

∴第n天的利润率bn=

1

n+80

1≤n≤20(n∈N*)

2n

n2-n+1600

21≤n≤60(n∈N*)

（Ⅲ）当1≤n≤20时，bn=

1

n+80

是递减数列，此时b_n的最大值为b1=

1

81

；
当21≤n≤60时，bn=

2n

n2-n+1600

=

2

n+

1600

n

-1

≤

2

2

1600

-1

=

2

79

，
（当且仅当n=

1600

n

，即n=40时，“=”成立）
又∵

2

79

＞

1

81

∴当n=40时，(bn)max=

2

79

．
∴该商店经销此纪念品期间，第40天的利润率最大，且该日利润为

2

79

．

点评：本题考查数列的性质和综合运用，具有一定的难度，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化和分类讨论思想的运用

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1(1≤x≤20，x∈N*)

x(21≤x≤60，x∈N*)

（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x个月的当月利润率g(x)=

第x个月的利润

第x个月前的资金总和

，例如：g(3)=

．
（1）求g（10）；
（2）求第x个月的当月利润率g（x）；
（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率．

（08年长沙一中一模理）某商店投入81万元经销某种北京奥运会特许记念品，预测经销时间共60天，在经销这一产品期间第天的利润（单位：万元）为.为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润购进纪念品增加货源投入到次日的经销中，定义第天的日利润，例如：

（1）求、的值；

（2）求第天的日利润率；

（3）该商店经营此纪念品期间，哪一天的日利润率最大，则该日经销最火爆，问经销最火爆会发生在第几天，并求该天的日利润率.

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(Ⅰ)求；（Ⅱ）求第个月的当月利润率；

（Ⅲ）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率．

某商店投入81万元经销某种济南全运会特许纪念品，经销时间共60天，市场调研表明，该商店在经销这一产品期间第几天的利润 $数学公式$ $数学公式$ （单位：万元，n∈N*）为了获得更多的利润，商店将每天获得利润投入到次日的经营中，记第n天的利润 $数学公式$ ，例如： $数学公式$ ．
（Ⅰ）求b₁，b₂的值；
（Ⅱ）求第几天的利润率b_n；
（Ⅲ）该商店的经销此纪念品期间，哪一天的利润最大？并求该日的利润率．