Question

【题目】如图，三棱台中， 侧面与侧面是全等的梯形，若,且.

（Ⅰ）若， ，证明： ∥平面；

（Ⅱ）若二面角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) .

【解析】试题分析：(Ⅰ) 连接，由比例可得∥，进而得线面平行；

（Ⅱ）过点作的垂线，建立空间直角坐标系，不妨设，则求得平面的法向量为，设平面的法向量为，由求二面角余弦即可.

试题解析：

（Ⅰ）证明：连接，梯形， ,

易知： ；

又，则∥；

平面， 平面，

可得： ∥平面；

（Ⅱ）侧面是梯形， ，

, ,

则为二面角的平面角， ；

均为正三角形，在平面内，过点作的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设，则

,故点，

；

设平面的法向量为，则有： ；

设平面的法向量为，则有： ；

，

故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.