Question

若不等式x²+2xy≤m（2x²+y²）对于一切正数x，y恒成立，则实数m的最小值为________．

Answer 1

1
分析：由题意可得：原不等式恒成立转化为不等式（2m-1）x²-2xy+my²≥0对于一切正数x，y恒成立，即不等式（2m-1）-2+m≥0对于一切正数x，y恒成立，然后利用一元二次不等式恒成立的有关知识解决问题即可．
解答：由题意可得：不等式x²+2xy≤m（2x²+y²）对于一切正数x，y恒成立，
即不等式（2m-1）x²-2xy+my²≥0对于一切正数x，y恒成立，
即不等式（2m-1）-2+m≥0对于一切正数x，y恒成立，
设t=，则有t＞0，
所以（2m-1）t²-2t+m≥0对于一切t∈（0，+∞）恒成立，
设f（t）=（2m-1）t²-2t+m，（t＞0），
①m=时，显然不符合题意，故舍去．
②当m时，函数的对称轴为t₀=，
所以由题意可得：，解得m≥1．
故答案为1．
点评：本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了恒成立的思想以及整体代换的技巧．