Question

【题目】已知点，圆.

（1）若直线过点且到圆心的距离为，求直线的方程；

（2）设过点的直线与圆交于、两点（的斜率为负），当时，求以线段为直径的圆的方程.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）.

【解析】

（1）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，利用圆心到直线的距离等于2可求得直线的方程；

（2）先通过点到直线的距离及勾股定理可解得直线的斜率，然后将直线的方程与圆的方程联立，求出线段的中点，作为圆心，并求出所求圆的半径，进而可得出所求圆的方程.

（1）由题意知，圆的标准方程为，圆心，半径，

①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，

则圆心到直线的距离为，.

直线的方程为；

②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，

此时圆心到直线的距离为，符合题意.

综上所述，直线的方程为或；

（2）依题意可设直线的方程为，即，

则圆心到直线的距离，

，解得或，

又，，直线的方程为即，

设点、，联立直线与圆的方程得，

消去得，，

则线段的中点的横坐标为，把代入直线中得，

所以，线段的中点的坐标为，

由题意知，所求圆的半径为：，

以线段为直径的圆的方程为：.