Question

已知数列满足。
（1）写出，并推测的表达式； 
（2）用数学归纳法证明所得的结论。

Answer 1

解：（1）a₁=，a₂=，a₃=，
猜想a_n=2-。
（2）①由（1）已得当n=1时，命题成立；
②假设n=k时，命题成立，即 a_k=2-，
 当n=k+1时，a₁+a₂+……+a_k+a_k+1+a_k+1=2(k+1)+1，
且a₁+a₂+……+a_k=2k+1-a_k，
∴2k+1-a_k+2a_k+1=2(k+1)+1=2k+3，
∴2a_k+1=2+2-，a_k+1=2-，
即当n=k+1时，命题成立，
根据①②得n∈N*，a_n=2-都成立。