Question

甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．
（ I）求第4局甲当裁判的概率；
（ II）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．

Answer 1

【答案】分析：（I）令A₁表示第2局结果为甲获胜，A₂表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负，A表示第4局甲当裁判，分析其可能情况，每局比赛的结果相互独立且互斥，利用独立事件、互斥事件的概率求解即可．
（II）X的所有可能值为0，1，2．分别求出X取每一个值的概率，列出分布列后求出期望值即可．
解答：解：（I）令A₁表示第2局结果为甲获胜．A₂表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负．A表示第4局甲当裁判．
则A=A₁•A₂，P（A）=P（A₁•A₂）=P（A₁）P（A₂）=；
（Ⅱ）X的所有可能值为0，1，2．令A₃表示第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜．
B₁表示第1局结果为乙获胜，B₂表示第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜，B₃表示第3局乙参加比赛时，结果为乙负，
则P（X=0）=P（B₁B₂A₃）=P（B₁）P（B₂）P（A₃）=．
P（X=2）=P（B₂）=P（）P（B₂）=．
P（X=1）=1-P（X=0）-P（X=2）=．
从而EX=0×+1×+2×=．
点评：本题考查互斥、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考查利用概率知识解决问题的能力．