Question

【题目】已知函数， .

（Ⅰ）若，求函数在的单调区间；

（Ⅱ）方程有3个不同的实根，求实数的取值范围；

（Ⅲ）当时，若对于任意的，都存在，使得，求满足条件的正整数的取值的集合.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）单调增区间为， 的单调减区间为

; （Ⅱ）当时，方程有三个不同的解，1， ; （Ⅲ）.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）在时， ，求出导数，由不等式得增区间，由不等式得减区间；

（Ⅱ）方程，即为，有一根为，然后有或，这可根据的正负分类讨论确定；

（Ⅲ）当， 时， ，由导数得出函数在上是增函数，这样可得当时， ，当时， ，此时，因此只要，由此求出的范围，

而这还需用导数研究相应函数的单调性，才能得出结论．

试题解析：

（Ⅰ）当， 时， ，

从而 ，

，

的单调增区间为， 的单调减区间为

（Ⅱ）方程，即，即

所以当时，方程有两个不同的解， ；

当时，方程有三个不同的解，1， ；

当时，方程有两个不同的解，1.

综上，当时，方程有三个不同的解，1，

（Ⅲ）当， 时， ， ，

所以函数在上是增函数，

且 .

所以当时， ，

当时，

所以，

因为对任意的，都存在，使得，

从而，

所以，即，即（）

因为为单调递增，

且满足，而，不满足题意，所以时，均不满足题意，

所以满足条件的正整数的取值的集合为.