Question

下列三图中的多边形均为正多边形，M，N是所在边的中点，双曲线均以图中的F₁，F₂为焦点，设图示①②③中的双曲线的离心率分别为e₁，e₂，e₃、则e₁，e₂，e₃的大小关系为（ ）
A．e₁＞e₂＞e₃
B．e₁＜e₂＜e₃
C．e₂=e₃＜e₁
D．e₁=e₃＞e₂

Answer 1

【答案】分析：根据题设条件，分别建立恰当的平面直角坐标系，求出图示①②③中的双曲线的离心率e₁，e₂，e₃，然后再判断e₁，e₂，e₃的大小关系．
解答：解：①设等边三角形的边长为2，以底边为x轴，以底边的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
则双曲线的焦点为（±1，0），且过点（，），
∵（，）到两个焦点（-1，0），（1，0）的距离分别是和，
∴，c=1，∴．
②正方形的边长为，分别以两条对角线为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，
则双曲线的焦点坐标为（-1，0）和（1，0），且过点（）．
∵点（）到两个焦点（-1，0），（1，0）的距离分别是和，
∴，c=1，∴．
③设正六边形的边长为2，以F₁F₁所在直线为x轴，以F₁F₁的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
则双曲线的焦点为（-2，0）和（2，0），且过点（1，），
∵点（1，）到两个焦点（-2，0）和（2，0）的距离分别为2和2，
∴a=-1，c=2，∴．
所以e₁=e₃＞e₂．故选D．
点评：恰当地建立坐标系是正确解题的关键．