Question

下列三图中的多边形均为正多边形，M，N是所在边的中点，双曲线均以图中的F₁，F₂为焦点，设图示①②③中的双曲线的离心率分别为e₁，e₂，e₃、则e₁，e₂，e₃的大小关系为（　　）

• A、e₁＞e₂＞e₃
• B、e₁＜e₂＜e₃
• C、e₂=e₃＜e₁
• D、e₁=e₃＞e₂

Answer 1

分析：根据题设条件，分别建立恰当的平面直角坐标系，求出图示①②③中的双曲线的离心率e₁，e₂，e₃，然后再判断e₁，e₂，e₃的大小关系．

解答：解：①设等边三角形的边长为2，以底边为x轴，以底边的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
则双曲线的焦点为（±1，0），且过点（

1

2

，

3

2

），
∵（

1

2

，

3

2

）到两个焦点（-1，0），（1，0）的距离分别是

9 4 + 3 4

=

3

和

1 4 + 3 4

=1，
∴a=

3 -1

2

，c=1，∴e1=

1

3 -1 2

=

3

+1．
②正方形的边长为

2

，分别以两条对角线为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，
则双曲线的焦点坐标为（-1，0）和（1，0），且过点（

1

2

，

1

2

）．
∵点（

1

2

，

1

2

）到两个焦点（-1，0），（1，0）的距离分别是

9 4 + 1 4

=

10

2

和

1 4 + 1 4

=

2

2

，
∴a=

10 - 2

4

，c=1，∴e2 =

1

10 - 2 4

=

10 + 2

2

．
③设正六边形的边长为2，以F₁F₁所在直线为x轴，以F₁F₁的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
则双曲线的焦点为（-2，0）和（2，0），且过点（1，

3

），
∵点（1，

3

）到两个焦点（-2，0）和（2，0）的距离分别为2

3

和2，
∴a=

3

-1，c=2，∴e3= 

2

3 -1

=

3

+1．
所以e₁=e₃＞e₂．故选D．

点评：恰当地建立坐标系是正确解题的关键．