Question

17．随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店；5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．
（Ⅰ）若从这10名购物者中随机抽取4名，求至多有一名倾向于选择实体店的女性购物者的概率；
（Ⅱ）若分别从男性购物者和女性购物者中各随机抽取2名，设X表示抽到倾向于选择网购的人数，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设“至多有1名倾向于选择实体店的女性购物者”为事件A，利用互斥事件的概率公式计算即可；
（Ⅱ）根据题意知X的取值，计算对应的概率值，写出随机变量X的分布列，计算数学期望值．

解答 解：（Ⅰ）设“至多有1名倾向于选择实体店的女性购物者”为事件A，
则P（A）=$\frac{{C}_{3}^{1}{•C}_{7}^{3}}{{C}_{10}^{4}}$+$\frac{{C}_{3}^{0}{•C}_{7}^{4}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{2}{3}$；
（Ⅱ）根据题意，X的取值为0，1，2，3，4；
则P（X=0）=$\frac{{C}_{2}^{2}{•C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}{•C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{100}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{•C}_{2}^{1}{•C}_{3}^{2}{+C}_{2}^{2}{•C}_{2}^{1}{•C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{2}{•C}_{5}^{2}}$=$\frac{24}{100}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{1}{•C}_{2}^{1}{•C}_{2}^{1}{•C}_{3}^{1}{+C}_{3}^{2}{•C}_{3}^{2}{+C}_{2}^{2}{•C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}{•C}_{5}^{2}}$=$\frac{46}{100}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{2}{•C}_{2}^{1}{•C}_{3}^{1}{+C}_{3}^{1}{•C}_{2}^{1}{•C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}{•C}_{5}^{2}}$=$\frac{24}{100}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{3}^{2}{•C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}{•C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{100}$；
∴随机变量X的分布列为：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{3}{100}$	$\frac{24}{100}$	$\frac{46}{100}$	$\frac{24}{100}$	$\frac{3}{100}$

数学期望为E（X）=0×$\frac{3}{100}$+1×$\frac{24}{100}$+2×$\frac{46}{100}$+3×$\frac{24}{100}$+4×$\frac{3}{100}$=2．

点评 本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题．