Question

12．已知函数f（x）=（e^x-e^-x）x．若f（log₃x）+f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$x）≤2f（1），则x的取值范围（　　）

• A． （-∞$\frac{1}{3}$]∪[3，+∞）
• B． [$\frac{1}{3}$，3]
• C． [$\frac{1}{3}$，1]
• D． [1，3]

Answer 1

分析 先判断函数f（x）是定义域R上的偶函数，再把不等式f（log₃x）+f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$x）≤2f（1）化为f（log₃x）≤f（1）；利用导数判断f（x）在[0，+∞）上是单调增函数，把不等式化为-1≤log₃x≤1，求出解集即可．

解答 解：函数f（x）=（e^x-e^-x）x，x∈R，
∴f（-x）=（e^-x-e^x）•（-x）=（e^x-e^-x）x=f（x），
∴f（x）是定义域R上的偶函数；
又f（${log}_{\frac{1}{3}}$x）=f（-log₃x）=f（log₃x），
∴不等式f（log₃x）+f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$x）≤2f（1）可化为f（log₃x）≤f（1）；
又f′（x）=（e^x-e^-x）+（e^x+e^-x）x，
当x≥0时，f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）在[0，+∞）上是单调增函数；
∴原不等式可化为-1≤log₃x≤1，
解得$\frac{1}{3}$≤x≤3；
∴x的取值范围是[$\frac{1}{3}$，3]．
故选：B．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是综合题．