Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=

3

．
（1）求证BC⊥SC；
（2）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小；
（3）求二面角A-SD-B的大小．

Answer 1

分析：（1）证明BC⊥SC，只需证明BC⊥面SDC，根据SD⊥底面ABCD证明SD⊥BC即可；
（2）取AB中点N，连接MN，DN，∠NMD（或其补角）为异面直线DM与SB所成角，计算DM，DN，MN，即可得到结论；
（3）连接BD，∠ADB为二面角A-SD-B的平面角，根据ABCD是正方形，即可得到结论．

解答：（1）证明：∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD
∵SD⊥底面ABCD，BC?底面ABCD
∴SD⊥BC
∵SD∩CD=D
∴BC⊥面SDC
∵SC?面SDC
∴BC⊥SC；
（2）解：取AB中点N，连接MN，DN，则
∵正方形ABCD的边长为1，SD⊥底面ABCD，SB=

3

．
∴SD=1
∴DM=

2

2

，DN=

5

2

∵棱SA的中点为M，AB中点N，
∴MN=

3

2

，MN∥SB
∴∠NMD（或其补角）为异面直线DM与SB所成角
∵DM=

2

2

，DN=

5

2

，MN=

3

2

∴∠NMD=90°
∴异面直线DM与SB所成角为90°
（3）连接BD，∵SD⊥底面ABCD，AD，BD?底面ABCD
∴SD⊥AD，SD⊥BD
∴∠ADB为二面角A-SD-B的平面角
∵ABCD是正方形
∴∠ADB=45°
∴二面角A-SD-B的平面角为45°

点评：本题考查线面垂直，线线垂直，考查线线角，面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判断，正确找出线线角，面面角．