Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2

15

，且经过点M（4，1），直线l：x-y+m=0交椭圆于不同的两点A，B．
（1）求m的取值范围；
（2）若直线l不经过点M，求证：直线MA，MB的斜率互为相反数．

Answer 1

分析：（1）设椭圆的方程，由焦距知2c与a²、b²、c²的关系，又椭圆过点M，代入方程可得b²、a²，从而得椭圆方程，将直线l代入椭圆方程，使方程有二不等实根即得；
（2）设直线MA，MB的斜率分别为k₁和k₂，由（1）中方程有二不等实根得x₁+x₂，x₁x₂，求出k₁+k₂=0即可．

解答：解：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），∵2c=2

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，∴a²=b²+c²=b²+15，
又∵椭圆过点M（4，1），∴

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a2

+

1

b2

=1，解得b²=5，a²=20；
故椭圆的方程为：

x2

20

+

y2

5

=1，
将y=x+m代入

x2

20

+

y2

5

=1，整理得5x²+8mx+4m²-20=0，
∴△=（8m）²-20（4m²-20）＞0，解得-5＜m＜5；
（2）设直线MA，MB的斜率分别为k₁和k₂，只要证明k₁+k₂=0；
设∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由5x²+8mx+4m²-20=0，知x₁+x₂=-

8m

5

，x₁x₂=

4m2-20

5

，
∴k₁+k₂=

y1-1

x1-4

+

y2-1

x2-4

=

(y1-1)(x2-4)+(y2-1)(x1-4)

(x1-4)(x2-4)

，
分子=（x₁+m-1）（x₂-4）+（x₂+m-1）（x₁-4）=2x₁x₂+（m-5）（x₁+x₂）-8（m-1）=

2(4m2-20)

5

-

8m(m-5)

5

-8（m-1）=0，
所以，直线MA、MB的斜率互为相反数．

点评：本题考查了直线与椭圆的位置关系的应用，由直线与曲线方程联立，用根与系数的关系式，是解答这类问题的常用方法；也考查了一定的运算能力和逻辑推理能力．