Question

【题目】四棱锥中,底面是边长为的菱形,侧面底面,, , 是中点,点在侧棱上.

（Ⅰ）求证: ;

（Ⅱ）若是中点,求二面角的余弦值;

（Ⅲ）是否存在,使平面?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.（Ⅲ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）证明AD⊥平面POB，即可证明AD⊥PB；（Ⅱ）证明PO⊥底面ABCD，建立空间直角坐标系，求出平面DEQ的法向量，平面DQC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论；（Ⅲ）求出平面DEQ法向量，利用PA∥平面DEQ，即，从而可得结论．

解析：

（Ⅰ）取中点,连接.

因为,所以.

因为菱形中, ,所以.

所以.

因为,且平面,所以平面.

所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知, ,

因为侧面底面,且平面底面,所以底面.

以为坐标原点,如图建立空间直角坐标系.

则,因为为中点,所以.

所以,所以平面的法向量为.

因为,设平面的法向量为,

则,即.

令,则,即.

所以.

由图可知,二面角为锐角,所以余弦值为.

（Ⅲ）设

由（Ⅱ）可知.

设,则,

又因为,所以,即.

所以在平面中, ,

所以平面的法向量为,

又因为平面,所以,

即,解得.

所以当时, 平面.