Question

10．已知函数f（x）=lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x），若不等式f（mx）+f（x²-2）＞0对任意的x∈[-1，1]恒成立，则m的取值范围为-1＜m＜1．

Answer 1

分析 判断函数的奇偶性和单调性，式子整理为x²+mx-2＜0对任意的x∈[-1，1]恒成立，
利用二次函数图形和性质可得：1-m-2＜0，1+m-2＜0，进而求出m的范围．

解答 解：f（x）=-lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$），定义域为R，且为减函数，
∵f（-x）=-lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）=-f（x），
∴函数f（x）为奇函数，
∵f（mx）+f（x²-2）＞0，
∴f（mx）＞f（-x²+2），
∴mx＜-x²+2对任意的x∈[-1，1]恒成立，
∴x²+mx-2＜0对任意的x∈[-1，1]恒成立，
∴1-m-2＜0，1+m-2＜0，
∴m的取值范围为-1＜m＜1．

点评 考查了函数的奇偶性和二次函数的性质．难点是用函数的奇偶性对不等式变形．